а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда 
Решение. а) Положим 
Относительно новой переменной имеем уравнение 
и только они, 
Ответ: 
б) Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда 
По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции 
к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу 
в) Если треугольник с длинами сторон a, b, c не существует, то одно из этих чисел не меньше суммы двух других. Пусть 
тогда
г) Прежде всего запишем данное условие в виде
Преобразуем далее:
откуда и следует, что один из углов треугольника — прямой.| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Поскольку 
то 
решение второй — отрезок 
— не лежит в области определения исходного неравенства. 
при помощи преобразования произведения косинусов в сумму и наоборот может быть приведено к виду 
откуда 
или 
второе — множество точек, лежащих, не левее симметричной ей относительно прямой 
параболы 
Ясно, что эти множества имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда первая парабола касается прямой 
поскольку тогда вторая парабола также касается этой прямой, причем в той же самой точке. Парабола 
касается прямой 
имеет единственное решение. Приравняв нулю дискриминант этого уравнения, получим ответ.
при всех 
то 
при всех 
при всех 
при всех 
Докажите, что если 
где 
при всех 
в виде 
Подставляя в выписанное разложение последовательно числа 
получим систему равенств 
рациональны. Поскольку 
для 
следует рациональность коэффициентов ck (ср. далее с решением пункта в)). 
обладают следующими свойствами: 
Оно очевидно, поскольку 
точке. Поэтому достаточно доказать, что существуют такие 
что 
при 
Предположим, что числа 
являются целыми. Подставив 
в равенство 
и воспользовавшись отмеченными свойствами многочленов 
получим, что 
или 
Идея рассуждения: если 
где 
то 
(докажите это). Поэтому произведение 
в котором хотя бы одно из чисел ni больше четырех, не может быть наибольшим. Так как 
то четверки можно из рассмотрения исключить. Таким образом, наибольшее произведение натуральных чисел с заданной суммой следует искать среди произведений двоек и троек. Осталось заметить, что в силу утверждения предыдущего пункта двоек должно быть как можно меньше. 
которое, в свою очередь, не превосходит наибольшего значения функции 
(при 
). Дифференцируя, получаем 
равно 
(здесь мы воспользовались тем, что 
).