PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Решение. а)Обозначим 
тогда 
и уравнение примет вид
Иными словами, сумма расстояний от точки t до точек 1 и 3 на вещественной прямой равно 2, то есть расстоянию между точками 1 и 3, поэтому подходят все точки отрезка 
Ответ:
б) Можно считать, что 
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
При этом площадь всей области, откуда выбираются p и q, равна 4. Поэтому искомая вероятность равна
Ответ: 
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной также можно составить треугольник.
Пусть c — самая большая сторона. По неравенству треугольника 
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
Докажем последнее неравенство. Возводя его в n — ую степень, получим 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
г) Преобразуем равенство
Поделим на 
получим
Поскольку A и B углы треугольника, 
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
Тогда либо 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
(иначе оно не определено) и рационализируем его
положителен при 
и 
причем 
и 
меньше двойки и нас не интересуют. С помощью метода интервалов получим ответ на 
отметив сразу, что точки 
не являются корнями исходного уравнения, поскольку для них 
и 
но 
Решим 
Они получаются, если k делится на 3 но не на 6. Окончательно 
и 
имеет единственное решение.
подходит в систему, то и пара чисел 
подходит в систему, поэтому единственным решение может быть только если 
Далее, из пар вида 
должна подходить ровно одна (больше одной нельзя по условию, а если не подходит ни одна, то единственного решения не будет), то есть 
Тогда трехчлен 
должен иметь единственный корень (если корней два, то на роль x подойдет любое число между корнями, а если корней нет вовсе, то у неравенства не будет решений). Тогда его дискриминант 
откуда 
Осталось убедиться, что система неравенств
Сложив неравенства, получим 
то все его корни по модулю меньше двух.
и 
Докажите, что 
левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому отрицательных корней быть не может. При положительных x поделим уравнение на 
Получим
что при положительных a не меньше двух:
Поэтому сумма k таких выражений не меньше 
и равенство достигается только при 
Перепишите уравнение в виде 
(если старший коэффициент равен −1, домножим его на −1 от этого его корни не изменятся.
Тогда 
но
то 
суть корни кубического многочлена 
Постройте обычным способом график кубической функции 
взгляните на полученный рисунок и ... решение закончено!
Обозначив 
получим, что уравнение 
имеет три корня. Выясним для начала, когда это возможно.
тогда 
возрастает при 
убывает при 
и возрастает при 
При этом 
и 
поэтому уравнение 
имеет три корня тогда и только тогда, когда 
и 
поэтому прямая 
пересекает график функции 
на промежутке 
при 
а на промежутке 
при 
Отсюда и получаем, что 
и 
то 
и аналогично 
Тогда можно преобразовать последнее уравнение
либо 
(первый вариант включается во второй). Во втором случае 
и, значит, 
или 
или 
Итак, общий ответ — либо числа равны, либо их аргументы различаются на 
в одну из сторон.
где ε — кубический корень из 1. Запишите 
в виде 
подставьте это выражение в заданное условие и решите полученное тригонометрическое уравнение. 
и 
откуда
и поэтому 
Аналогично докажем, что 
Данные равенства для x, y, z равносильны одному равенству 
для a, b, c. Поскольку модуль каждого из чисел a, b, c равен единице, то их аргументы отличаются на 
Раз, к примеру, 
то 
откуда и следует, что 
Попробуйте найти элементарное решение, в котором комплексные числа не используются.