а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
Решение. а) Неравенство приводится к виду 
где 
поскольку 
Из первого уравнения получаем 
или 
Разберем два случая.
Если 
то 
или 
где 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
т. е. 
или 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
или 
Если 
то 
или 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
где 
Ответ: 
б) Действительно, положим 
Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена 
малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Пусть
Коэффициенты этого многочлена имеют вид 
Поскольку 
при 
то найдется такое натуральное число n, что 
i = 1, 2, ..., 9.
Ответ: Да, существует.
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Да, существует. Да, существует.
не имеет решений на отрезке 
Поскольку на луче 
функции 
и 
— убывающие, то и функция f убывает на нем. Аналогично, f возрастает на луче 
Далее, 
а 
Таким образом, 
только при 
тогда и только тогда, когда 
или 
т. е. когда число а является значением на отрезке 
(при некотором 
) одной из функций 
или 
Графики этих функций изображены на рисунке, откуда и следует ответ.
— площадь трапеции. Пусть d — диагональ четырехугольника. Тогда 
так что 
при всех 
Верно ли, что 
Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа 
и 
Поэтому
а 
где 
Ясно, что 
и d — рациональные числа; пусть q — их общий знаменатель. Осталось заметить, что в левой части равенства 
найдутся, поскольку уравнения не пропорциональны. Тогда 
и 
В таком случае 
—
не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем 
поэтому 
при всех натуральных n, что невозможно.