а) Решите систему 
б) Существует ли многочлен 
имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство 
Решение. а) Из первого уравнения получаем 
или 
Разберем два случая.
Если 
то 
или 
При получим 
и второе уравнение примет вид 
отсюда 
При 
получим 
и второе уравнение примет вид 
т. е. 
Если 
то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
Ответ: 
б) Да, существует. Рассмотрим многочлен
Пусть 
и 
Рассмотрим тогда многочлен
Этот многочлен имеет корни 
и его коэффициенты не превосходят 
в) Обозначим 
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку 
поэтому 
и 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
имеет решения на отрезке 
При 
получаем 
функция 
Значит, подходят все 
где 
решим
а вторые — только при 
Кроме того, оба корня с минусом перед радикалом сразу отрицательны и их можно не учитывать, поскольку 
получим 
или 
или 
или 
Пусть, далее, 
По неравенству треугольника получим 
и 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, получим
(поскольку функция 
монотонна при 
). Тогда нам нужно будет найти наибольшее значение функции 
при 
Возьмем ее производную
которое очевидно убывает. Значит, нужно найти его корень 
и тогда на промежутке 
производная будет положительна (а функция возрастать), а на промежутке 
производная будет отрицательна (а функция убывать), поэтому наибольшее значение функции будет при 
Решим уравнение
и x — корень уравнения 
и получить площадь 
— площадь трапеции.
при всех 
Верно ли, что 
Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа 
т. е. 
и 
В таком случае 
—
не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем 
поэтому 
при всех натуральных n, что невозможно.