1.
i
Докажите, что любое натуральное число, большее 5, можно представить как сумму простого числа и составного.
РЕШУ ОЛИМП — математика
Вариант № 759
О. А. Иванов 100 олимпиадных задач для старшеклассников. Задание 4
если нечетно, то 
2.
i
Известно, что число 
является корнем многочлена 
где a и b — целые числа. Найдите a, b и остальные корни этого многочлена.
— корень, то 
Если, 
то 
что противоречит иррациональности 
поскольку a и b — целые числа. Следовательно, 
и многочлен равен 
3.
i
Точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности делит его гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты этого треугольника.
так как нас интересуют лишь положительные значения x.4.
i
Найдите все такие простые числа p, для которых число 
—
то 
и число 
значит, 
5.
i
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Островитянин в присутствии другого островитянина сказал, что по крайней мере один из них лжец. Кто они?
6.
i
Докажите неравенство 
При каком наибольшем k верно неравенство
получим 
значит, 
Доказать это равенство при 
можно точно также, как и первое.
7.
i
Найдите число областей, на которые разбивают: а) прямую n различных точек; б) плоскость n прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке?
откуда по индукции несложно получить ответ.
б) 
8.
i
Какова наименьшая площадь круга, которым можно накрыть треугольник со сторонами 14, 10 и 9 см?
С другой стороны, поскольку 
то данный треугольник, является тупоугольным, поэтому круг, построенный на стороне длинной 14 см как на диаметре, целиком накрывает этот треугольник.
9.
i
Докажите, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах, целиком покрывают этот четырехугольник.
10.
i
Докажите, что для всякого натурального числа n сумма кубов чисел от 1 до n является точным квадратом.
