В трех урнах лежат: два белых; два черных; белый и черный шары. На каждой из них табличка не соответствует ее содержимому. Какое наименьшее число шаров (и из какой урны) надо вынуть, чтобы после этого быть в состоянии развесить таблички правильно.
Одиннадцать шестеренок расположены по кругу так, что первая из них сцеплена со второй, вторая — с третьей, а одиннадцатая — с первой. Может ли такая система вращаться? А если шестеренок двенадцать?
На прямой дан набор отрезков, любые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует точка, принадлежащая всем отрезкам.
Функция f задана на всей прямой и такова, что 
Найдите 
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?
Проверьте, что 
Котенок сидит на середине лестницы, прислоненной к стене. По какой траектории будет двигаться котенок, если лестница заскользит по полу?
Найдите множество точек, являющихся вершинами прямого угла треугольника, две другие вершины которого лежат на сторонах другого прямого угла.
Докажите, что десятичная запись некоторой степени числа 27 заканчивается четырьмя нулями и единицей.
Известно, что 
Докажите, что 
и 
пересекаются тогда и только тогда, когда 
Из условий задачи тем самым следует, что 
и любая точка, лежащая между указанными максимумом и минимумом, принадлежит каждому из данных отрезков.
и f
Второе — не совсем корректное (в чём?). Пусть 
тогда 
и 
способами.
медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы; так что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе.
Труднее доказать, что вершина при этом не выйдет за пределы отрезка NK. Интересно сравнить это рассуждение с прямым вычислением координат точки C. Именно: 
Далее, 
Покажите, что это лежит между 
и 
если 
найдутся две, разность которых делится на 1000000, т. е. 
то значит, число 
оканчивается на 00001.
