В ряд вы­пи­са­ны цифры 987654321. По­ставь­те между ними ровно два знака минус так, чтобы зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния было ми­ни­маль­ным. (На­при­мер, при рас­ста­нов­ке 9876 − 54 − 321 по­лу­ча­ет­ся 9501.)

Су­ще­ству­ет ли че­ты­рех­уголь­ник, ко­то­рый можно раз­ре­зать на три рав­ных тре­уголь­ни­ка двумя раз­ны­ми спо­со­ба­ми? Если не су­ще­ству­ет  — до­ка­жи­те, если су­ще­ству­ет  — по­строй­те при­мер.

Бо­лель­щи­ки Спар­та­ка го­во­рят прав­ду, когда Спар­так вы­иг­ры­ва­ет, и лгут, когда он про­иг­ры­ва­ет. Ана­ло­гич­но ведут себя бо­лель­щи­ки Ди­на­мо, Зе­ни­та и Ло­ко­мо­ти­ва. После двух мат­чей с уча­сти­ем этих че­ты­рех ко­манд, каж­дая из ко­то­рых за­кон­чи­лась по­бе­дой одной из ко­манд, а не ни­чьей, из бо­лель­щи­ков, смот­рев­ших транс­ля­цию, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Спар­так?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 200 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Ди­на­мо?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 300 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Зенит?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 500 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Ло­ко­мо­тив?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 600 че­ло­век. Сколь­ко че­ло­век бо­ле­ло за каж­дую из ко­манд?

Най­ди­те наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, пред­ста­ви­мое в виде для не­ко­то­рых целых чисел x и y. Стро­го обос­нуй­те ответ.

На доске на­пи­са­ны числа Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа a и b и за­пи­сать вме­сто них a + b  =  ab. После не­сколь­ких таких опе­ра­ций на доске оста­лось одно число. Чему оно может быть равно?

Слова языка ро­бо­тов пла­не­ты Ше­ле­зя­ка  — по­сле­до­ва­тель­но­сти стре­ло­чек «вверх», «вниз», «влево» и «впра­во», причём две про­ти­во­на­прав­лен­ные стре­лоч­ки не могут сто­ять рядом. Учи­тель на­пи­сал на доске 1000000 слов этого языка. Че­ты­ре уче­ни­ка пе­ре­пи­сы­ва­ют слова к себе в тет­радь, делая сле­ду­ю­щие из­ме­не­ния: уче­ник U при­пи­сы­ва­ет перед сло­вом стре­лоч­ку вверх, а если это за­пре­ще­но (слово на­чи­на­ет­ся с «вниз»), то уби­ра­ет это пер­вое «вниз», уче­ни­ки D, L, R де­ла­ют всё то же самое, толь­ко при­пи­сы­ва­ют со­от­вет­ствен­но стрел­ку вниз, влево или впра­во, и вычёрки­ва­ют пер­вый сим­вол, если он ока­зал­ся «вверх», «впра­во», «влево». До­ка­жи­те, что в одной из четырёх тет­ра­дей ми­ни­мум по­ло­ви­на (500 000) слов не будет встре­чать­ся среди слов на доске.