PDF-версии: 
Даны числа x, y, удовлетворяющие условию 
Докажите неравенство 
Решение. В силу четности достаточно рассмотреть неотрицательные x и y. Можно также считать, что
иначе переставим x и y, увеличив левую часть неравенства. Из условия вытекает, что 
и 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
(см. рисунок). Так как 
и
пятиугольник содержится в четверти единичного круга с центром в О, лежащей в первом квадранте. Поэтому
Приведём другое решение. В силу четности достаточно рассмотреть неотрицательные x и y. Положим 
и 
По условию
откуда 
Поэтому
Приведём еще одно решение. Положим и 
Тогда
В силу неравенства Коши
Поэтому
Докажите неравенство 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок). Так как 
и 
Тогда 
достигается при 