РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 27 № 1000 Добавить в вариант

а)  Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение

$ax в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка плюс x минус 1=0?$

б)  Пусть $p=b_1b_2\ldots b_n$ ( $b_i больше 0$ ). Докажите неравенство

$b_1 плюс b_2 плюс \ldots плюс b_n больше или равно n плюс натуральный логарифм p.$

в)  Пусть A, B, C  — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если

$синус левая круглая скобка A минус B правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка B минус C правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка C минус A правая круглая скобка =0,$

то этот треугольник  — равнобедренный.

г)  Пусть $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = принадлежит t\limits_0 в степени x косинус в степени n tdt.$ Найдите все $n принадлежит \Bbb N,$ при которых функция g периодична.

Спрятать решение

Решение.

а)  Один корень, если $a меньше минус дробь: числитель: 12 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка , знаменатель: 13 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка конец дроби$ или $a\geqslant0,$ два, если $a= дробь: числитель: 12 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка , знаменатель: 13 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка конец дроби ,$ и три корня, если $дробь: числитель: 12 в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка , знаменатель: 13 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка конец дроби меньше a меньше 0.$

б)  Исследуйте функцию $y=x минус 1 минус натуральный логарифм x.$

в)  Преобразуйте данное тождество к виду

$синус \tfracA минус B2 синус \tfracB минус C2 синус \tfracC минус A2=0.$

г)  Все нечетные n.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Анализ. Интеграл, Анализ. Свойства функций (четность, периодичность, ...), Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Задачи с параметрами. Уравнения высших порядков, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь