сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Пусть p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a_0 плюс a_1x плюс \ldots плюс a_nx в сте­пе­ни n .

а)  До­ка­жи­те, что если p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Bbb Q при всех k при­над­ле­жит \Bbb Z, то a_i при­над­ле­жит \Bbb Q при всех i=0, 1, \ldots, n.

б)  До­ка­жи­те, что из того, что p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Bbb Z при всех k при­над­ле­жит \Bbb Z, не сле­ду­ет, что a_i при­над­ле­жит \Bbb Z при всех i=0, 1, \ldots, n.

в)  Пусть q_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x минус i плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: i! конец дроби , q_0 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1. До­ка­жи­те, что если p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Bbb Z при всех k при­над­ле­жит \Bbb Z, то p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum b_iq_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , где b_i при­над­ле­жит \Bbb Z при всех i=0, 1, \ldots, n.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  В этой за­да­че, аб­со­лют­но оче­вид­ной с точки зре­ния «выс­шей» ма­те­ма­ти­ки (рас­смот­ри­те ин­тер­по­ля­ци­он­ный мно­го­член Лагран­жа), по­тре­бо­ва­лись не­ко­то­рые ухищ­ре­ния для по­ис­ка ее ре­ше­ния, не тре­бу­ю­ще­го вве­де­ния новых по­ня­тий. За­пи­шем мно­го­член p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a_nx в сте­пе­ни n плюс a_n минус 1x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс a_0 в виде

p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =c_nx левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x минус n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс c_n минус 1x левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка x минус n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс c_0.

Оче­вид­но, что до­ста­точ­но до­ка­зать ра­ци­о­наль­ность всех ко­эф­фи­ци­ен­тов ci, i=0, 1, \ldots,n. Под­став­ляя в вы­пи­сан­ное раз­ло­же­ние по­сле­до­ва­тель­но числа 0, 1, \ldots,n, по­лу­чим си­сте­му ра­венств

p левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =c_0, p левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =c_1 плюс c_0, p левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2c_2 плюс 2c_1 плюс c_0, \ldots, p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка =k!c_k плюс \sum_i=0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка альфа _kic_i, \ldots,

в ко­то­рой все ко­эф­фи­ци­ен­ты альфа _ki ра­ци­о­наль­ны. По­сколь­ку

k!c_k=p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка минус \sum_i=0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка альфа _kic_i,

то из усло­вия ра­ци­о­наль­но­сти зна­че­ний p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка для k=0, 1, \ldots, n сле­ду­ет ра­ци­о­наль­ность ко­эф­фи­ци­ен­тов ck (ср. далее с ре­ше­ни­ем пунк­та в)).

б)  При­мер: p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  За­ме­тим пре­жде всего, что мно­го­чле­ны q_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка об­ла­да­ют сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

q_i левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка =0приk=0, 1, \ldots, i минус 1, q_i левая круг­лая скоб­ка i пра­вая круг­лая скоб­ка =1иq_i левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит \Bbb Zпри всехk при­над­ле­жит \Bbb N.

По­след­нее свой­ство до­ста­точ­но про­ве­рить для k боль­ше или равно i. Оно оче­вид­но, по­сколь­ку q_i левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка =C_k в сте­пе­ни i .

Далее, для того, чтобы до­ка­зать сов­па­де­ние мно­го­чле­нов сте­пе­ни n, до­ста­точ­но по­ка­зать, что сов­па­да­ют их зна­че­ния в n плюс 1 точке. По­это­му до­ста­точ­но до­ка­зать, что су­ще­ству­ют такие b_i при­над­ле­жит \Bbb Z, что p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum b_iq_i левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка при k=0, 1, \ldots, n.

Рас­суж­де­ние по­ве­дем по ин­дук­ции. База оче­вид­на, по­сколь­ку b_0=p левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Пред­по­ло­жим, что числа b_0, \ldots, b_k минус 1 яв­ля­ют­ся це­лы­ми. Под­ста­вив x=k в ра­вен­ство p левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum b_iq_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и вос­поль­зо­вав­шись от­ме­чен­ны­ми свой­ства­ми мно­го­чле­нов q_i левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­чим, что

p левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum_i=0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка b_iq_i левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b_k,

от­ку­да и сле­ду­ет це­ло­чис­лен­ность ко­эф­фи­ци­ен­та bk.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024