PDF-версии: 
а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения 
в) Найдите все натуральные решения уравнения
Решение. а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку 
то после замены 
получим уравнение 
Полученное уравнение разрешимо, если число 
входит в множество значений функции 
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при 
или 
и 
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок 
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда 
откуда и получаем ответ.
Ответ: 
б) Из равенства 
получаем, что 
откуда следует, что число 
должно быть полным квадратом, 
Аналогично, 
причем 
Ответ: 
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если 
и 
то 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |