а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения
в) Найдите все натуральные решения уравнения
а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку то после замены
получим уравнение
Полученное уравнение разрешимо, если число
входит в множество значений функции
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при или
и
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда
откуда и получаем ответ.
Ответ:
б) Из равенства получаем, что
откуда следует, что число
должно быть полным квадратом,
Аналогично,
причем
Ответ:
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если и
то
Ответ:

