а) Решите систему
б) Существует ли многочлен имеющий девять различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство
а) Неравенство приводится к виду где
поскольку
Из первого уравнения получаем
или
Разберем два случая.
Если то
или
где
При получим
и второе уравнение примет вид
т. е.
или
При получим
и второе уравнение примет вид
или
Если то
или
При получим
и второе уравнение примет вид
где
При получим
и второе уравнение примет вид
где
Ответ:
б) Действительно, положим Ясно, что если корни xi достаточно малы, то и коэффициенты многочлена
малы. Можно написать явные оценки, но лучше провести следующее рассуждение.
Пусть
Коэффициенты этого многочлена имеют вид Поскольку
при
то найдется такое натуральное число n, что
i = 1, 2, ..., 9.
Ответ: Да, существует.
в) Обозначим
Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку поэтому
и

