Спрятать решениеРешение. а) Нетрудно проверить, что заданное соотношение верно для последовательностей 
и 
Поэтому
б) Легко понять, что найдутся такие a и b, при которых 
а 
Ответ: Нет, неверно.
в) Предположим, что 
где 
Ясно, что 
и d — рациональные числа; пусть q — их общий знаменатель. Осталось заметить, что в левой части равенства
стоит ненулевое число, стремящееся к нулю при 
между тем как знаменатель числа, стоящего в его правой части, не больше q, поэтому оно не может стремиться к нулю.
Ответ: Нет, не существует.
а) Докажите, что 
при всех 
Подставим выражения для членов последовательности
Что, очевидно, верно.
б) Известно, что 
Верно ли, что 
Нет. Выберем такие a, b для которых
такие 
найдутся, поскольку уравнения не пропорциональны. Тогда 
в) Пусть 
Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа 
Нет. Допустим это прогрессия с первым членом A и разностью d. Тогда 
и 
В таком случае
откуда d — рациональное число. Тогда и 
— рациональное число. Пусть их общий знаменатель равен x, тогда все члены прогрессии могут быть записаны как дроби со знаменателем x. Но ясно, что 
не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем 
поэтому 
при всех натуральных n, что невозможно.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Нет, неверно. Нет, не существует.
