Ре­ше­ние. Вы­пи­шем все кра­си­вые дроби

и при­ведём их к не­со­кра­ти­мо­му виду

Сразу поймём, что число, ко­то­рое в сумме с собой даёт целое,  — либо целое, либо дробь со зна­ме­на­те­лем 2. Под­хо­дя­щие числа 2, 4, 14, и в сумме с собой дадут числа 4, 8, 28, 1, 3 и 13.

Те­перь рас­смот­рим суммы двух раз­лич­ных чисел. За­ме­тим, что сумма двух не­со­кра­ти­мых дро­бей может быть целым чис­лом, толь­ко если их зна­ме­на­те­ли равны. По­пар­ные суммы 2, 4 и 14 дадут 6, 16 и 18; по­пар­ные суммы и дадут 2, 7 и 8; по­пар­ные суммы и дают 3, дру­гих чисел с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми нет.

По­лу­ча­ем всего 11 ис­ко­мых чисел: это 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28 (всего мы по­лу­чи­ли 13 целых сумм, но среди них числа 3 и 8 по­лу­чи­ли два­жды).

Ответ: 11.