Петя и Коля по очереди написали на доске по 20 не равных нулю чисел, расположив их по кругу. Когда Петя посмотрел на доску внимательно, он заметил, что каждое число им написанное, равно сумме соседних с ним чисел, написанных Колей, а каждое число, написанное Колей, равно произведению соседних с ним чисел. Он сообщил об этом Коле и стер с доски все числа. Какова сумма всех чисел, написанных на доске Колей?
Рассмотрим 5 стоящих подряд чисел, так что первое, третье и пятое написано Петей, а второе и четвертое — Колей. Обозначим эти числа a, b, c, d, e. По условию b = ac, d = ce, c = b + d. Отсюда следует 
Поскольку 
сразу получаем a + e = 1, то есть сумма любых двух чисел, написанных Петей и стоящих через один равна 1. Всего таких пар 10, поэтому сумма всех чисел, написанных Петей, равна 10. Теперь если перебрать все c, написанные Петей, и их сложить, то каждое из чисел «b и d» из пятерок встретится дважды. Поэтому сумма чисел, написанных Колей в два раза меньше, суммы чисел, написанных Петей, т. е. эта сумма равна 5.
Ответ: 5.
Примечание. Легко угадать частный случай: Петя написал все одинаковые числа 0,5, а Коля все одинаковые числа — 0,25.Ответ, естественно, остается правильным, но все-таки это именно частный случай.
но не получил окончательный ответ. Возможно, нашел частный случай равенства чисел (типа 
и показал, что они удовлетворяют условию задачи.