PDF-версии: 
У Ильи есть табличка 3 × 3, заполненная числами от 1 до 9 так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа?
Решение. Заметим, что как при перемене двух строк местами, так и при перемене двух столбцов местами, числа 1 и 2 остаются в одной строке. Во второй таблице это не так, поэтому получить её Илье не удастся.
Ответ: нет, не может.
Замечание. Можно заметить, что при описанных действиях наборы чисел в строках и столбцах не меняются, т. е. в какой-то строке всегда в некотором порядке будут числа 1, 2, 3, в другой — 4, 5, 6, в третьей — 7, 8, 9. Величина (обычно, числовая, но бывает и иначе), которая не меняется в ходе некоторого процесса, называется инвариантом.
Про инварианты можно почитать, например, в статье Ю. Ионин, Л. Курляндчик «Поиск инварианта» (журнал Квант, 1976 г., №2; http://kvant.mccme.ru/1976/02/poisk_invarianta.htm).
| Критерий | Балл |
|---|---|
| Только ответ | − |
| Утверждается, что перевести одну таблицу в другую невозможно, потому что цифры 1, 5 и 9 остались на своих местах | − |
| Верно утверждается, что при разрешённых действиях наборы чисел в строках (наборы чисел в столбцах, наборы сумм чисел в строках/столбцах и т.д.) остаются неизменными | Не ниже ± |
| Приведены чёткие и внятные обоснования и/или описано, что происходит с рассматриваемыми объектами в случае перестановки строк и в случае перестановки столбцов | + |