PDF-версии: 
На плоскости нарисовано множество единичных окружностей так, что каждая прямая на плоскости пересекает хотя бы одну окружность. Обязательно ли найдётся прямая, пересекающая бесконечно много окружностей?
Решение. Рассмотрим график функции 
В каждой точке этого графика, у которой хотя бы одна целая координата, нарисуем единичную окружность. Тогда круги, соответствующие нарисованным окружностям, полностью покрывают график функции Таким образом, каждая прямая на плоскости пересекает хотя бы одну окружность, поскольку каждая прямая на плоскости пересекает график функции 
(каждая прямая вида 
имеет с графиком общую точку, поскольку кубическое уравнение 
имеет корень, а каждая прямая вида 
пересекается с графиком в точке (c; c3)).
Покажем, что никакая прямая не может пересекать бесконечно много окружностей. Рассмотрим прямую 
Расстояние от точки (x; x3)) до этой прямой равно 
Найдётся такое положительное число M, что при 
функция d(x) неограниченно убывает, а при 
неограниченно возрастает. Значит, существует 
такое, что при 
имеем 
Таким образом, прямая 
может пересекать только те окружности, абсциссы которых удовлетворяют неравенству 
Но таких окружностей конечное число.
Ответ: нет.
| Критерий | Балл |
|---|---|
| Правильный рисунок без пояснений | − |
| Правильный пример, с описанием кривой, но без дальнейших продвижений | ∓ |