Лемма. Если в тре­уголь­ни­ке две сто­ро­ны боль­ше 2, а угол между ними боль­ше 105°, то длина тре­тьей сто­ро­ны боль­ше 3. До­ка­за­тель­ство. За­ме­тим, что

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов квад­рат тре­тьей сто­ро­ны боль­ше

Рас­смот­рим два слу­чая.

1)  Вы­пук­лая обо­лоч­ка дан­ных пяти точек  — пя­ти­уголь­ник ABCDE. Тогда один из его углов (пусть B) не мень­ше По лемме

2)  Вы­пук­лая обо­лоч­ка  — четырёхуголь­ник или тре­уголь­ник. Тогда одна из точек (пусть D) при­над­ле­жит од­но­му из тре­уголь­ни­ков (пусть ABC), об­ра­зо­ван­но­му тремя дру­ги­ми точ­ка­ми. В этом слу­чае один из углов ADB, ADC, BDC не мень­ше 120°. По лемме сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, боль­ше 3.

За­ме­ча­ния.

1.  Слу­чай, когда вы­пук­лая обо­лоч­ка  — от­ре­зок, оче­ви­ден.

2.  Ана­ло­гич­ные рас­суж­де­ния до­ка­зы­ва­ют, что най­дут­ся даже точки на рас­сто­я­нии, боль­шем Улуч­шить этот ре­зуль­тат нель­зя, что до­ка­зы­ва­ет при­мер пра­виль­но­го пя­ти­уголь­ни­ка.

б)  При­мер. Рас­смот­рим пять вер­шин пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды с рав­ны­ми рёбрами и диа­го­на­лью ос­но­ва­ния длины 3. Тогда длины всех рёбер равны Можно даже взять 6 точек  — в вер­ши­нах пра­виль­но­го ок­та­эд­ра, или в вер­ши­нах пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы с рав­ны­ми рёбрами, у ко­то­рой диа­го­наль бо­ко­вой грани равна 3.

За­ме­ча­ние.

В усло­ви­ях за­да­чи в про­стран­стве можно по­ка­зать, что рас­сто­я­ние между ка­ки­ми-то двумя точ­ка­ми боль­ше Этот ре­зуль­тат нель­зя улуч­шить, что по­ка­зы­ва­ет сле­ду­ю­щий при­мер. Рас­смот­рим пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 3 и вы­со­той 1,5. Её бо­ко­вое ребро равно

Скле­ив две такие пи­ра­ми­ды ос­но­ва­ни­я­ми, по­лу­чим би­пи­ра­ми­ду (5 вер­шин), у ко­то­рой от­но­ше­ние наи­боль­ше­го рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми к наи­мень­ше­му как раз равно

Ответ: а)  верно; б)  не­вер­но.