РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 11667 Добавить в вариант

У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трех котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причем каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли она скормить котикам поровну мяса?

Спрятать решение

Решение.

Пусть каждый отрезаемый кусочек составляет долю $левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка$ куска, от которого его отрезают. Тогда k-⁠й отрезанный кусочек составляет долю $левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка a в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка$ от изначального куска. Сократив на $левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка ,$ получим, что задачу можно переформулировать следующим образом: для некоторого $a принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка$ и натурального n необходимо разбить числа $1, a, a в квадрате , \ldots, a в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ на три группы с равными суммами.

Выберем в качестве a корень уравнения

$1 = x плюс x в кубе равносильно 1 минус x = x в кубе .$

Он существует и принадлежит интервалу (0; 1), потому что графики функций $y_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка = 1 минус x$ и $y_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе$ пересекаются внутри единичного квадрата на координатной плоскости (см. рис.).

Поскольку $1 = a плюс a в кубе ,$ то для любого натурального k выполнено равенство $a в степени k = a в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка k плюс 3 правая круглая скобка .$ Тогда

$1 = a плюс a в кубе = левая круглая скобка a в квадрате плюс a в степени 4 правая круглая скобка плюс a в кубе = a в квадрате плюс левая круглая скобка a в степени 5 плюс a в степени 7 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a в степени 4 плюс a в степени 6 правая круглая скобка = a в квадрате плюс a в степени 4 плюс a в степени 5 плюс a в степени 6 плюс a в степени 7 .$ $1 = a плюс a в кубе = левая круглая скобка a в квадрате плюс a в степени 4 правая круглая скобка плюс a в кубе =$
$= a в квадрате плюс левая круглая скобка a в степени 5 плюс a в степени 7 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a в степени 4 плюс a в степени 6 правая круглая скобка = a в квадрате плюс a в степени 4 плюс a в степени 5 плюс a в степени 6 плюс a в степени 7 .$

Таким образом, для для $n=8$ и указанного a числа $1, a, \ldots, a в степени 7$ можно разбить на три группы с равными суммами:

$левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка ,$

$левая фигурная скобка a, a в кубе правая фигурная скобка ,$

$левая фигурная скобка a в квадрате , a в степени 4 , a в степени 5 , a в степени 6 , a в степени 7 правая фигурная скобка .$

Ответ: да, может.

Комментарии. Существуют и другие разбиения:

$1 = a плюс a в степени 4 плюс a в степени 6 = a в квадрате плюс a в кубе плюс a в степени 5 плюс a в степени 7 ,$

$1 = a в квадрате плюс a в кубе плюс a в степени 4 = a плюс a в степени 5 плюс a в степени 6 плюс a в степени 7 .$

Существуют примеры с другим значением a. Например, если a  — корень уравнения $1 = x в квадрате плюс x в кубе ,$ то

$1 плюс a в степени 4 = a плюс a в квадрате = a в кубе плюс a в степени 5 плюс a в степени 6 плюс a в степени 7 плюс a в степени 8 плюс a в степени 9 плюс a в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка .$

Для четырех котиков также существует пример. Если a  — корень уравнения $1 = x в квадрате плюс x в кубе ,$ то

$1 = a в квадрате плюс a в кубе = a плюс a в степени 5 = a в степени 4 плюс a в степени 6 плюс a в степени 7 плюс a в степени 8 плюс a в степени 9 плюс a в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка плюс a в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

—.	Задача сведена к разбиению конечной геометрической прогрессии на три группы с равными суммами.
—	Задача решена только в случае, когда значение доли рационально.
—	Только верный ответ.

Московская олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2025 год

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь