Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает
Обозначим точки пересечения биссектрис углов ABH и ACH с отрезком AH через P и Q соответственно. Докажем, что
Из этого будет следовать решение задачи — сумма из условия разбивается на три пары углов с суммой 90° (см. рис.), то есть искомая сумма будет равна 270°.
Способ 1. Окружность, построенная на BC как на диаметре, проходит через точки B1 и C1, а биссектрисы вписанных углов B1BC1 и B1CC1 проходят через середину дуги B1C1, на которую они опираются; обозначим ее через T. Таким образом,
Поскольку
то точки A, T, P, C1 лежат на одной окружности. Аналогично точки A, T, Q, B1 лежат на одной окружности.
Тогда
что и требовалось.
Cnocoб 2. Так как 
то и 
поэтому
Следовательно, прямоугольные треугольники BPA1 и QCA1 подобны по двум углам, поэтому
Как известно, треугольники A1BC1 и A1B1C подобны треугольнику ABC, а следовательно, подобны друг другу. Отсюда
Из равенств (1) и (2) следует, что
Воспользуемся еще одним известным фактом: 
получаем, что треугольники PC1A1 и B1QA1 подобны по углу и отношению прилежащих сторон, откуда 
Тогда
что и требовалось доказать.
Способ 3. Пусть 
—
то точки —
что и требовалось доказать.
Cпособ 4. Пусть K и L — точки пересечения описанных окружностей треугольников BHP и CHQ с прямыми AB и AC соответственно. Так как четырехугольник BHPK вписанный, то
Так как четырехугольник CHQL вписанный, то
Таким образом, треугольники KPH и HQL подобны по двум углам. Поскольку четырёхугольник BHPK вписанный, то 
поэтому
Таким образом, прямоугольные треугольники KC1H и HB1L подобны по двум углам.
На гипотенузах KH и HL подобных треугольников KC1H и HB1L построены соответствующим образом подобные треугольники KPH и HQL. Следовательно, полученные четырехугольники C1HPK и B1LQH подобны. Тогда диагонали C1P и B1Q образуют одинаковые углы с соответствующими сторонами C1H и B1L, то есть 
что и требовалось доказать.
Способ 5. Продлим высоту AA1 и отметим на ней такие точки R и S, что 
и 
Тогда в равнобедренном треугольнике A1C1R внутренние углы при стороне C1R равны половине внешнего угла C1A1H, поэтому
Аналогично им равны и углы A1B1S и A1SB1. Следовательно, четырехугольники BC1PR и CB1QS вписанные.
Равенство, которое мы хотим доказать, можно эквивалентно переписать в виде 
Воспользовавшись доказанными вписанностями, получим
Таким образом, нужно доказать равенство углов A1RB и A1CS, что эквивалентно подобию прямоугольных треугольников <A1RB и A1CS. Чтобы доказать это подобие, запишем отношение соответствующих сторон и воспользуемся равенствами и 
Последнее равенство верно, так как треугольники A1BC1 и A1B1C подобны, что и требовалось.
Способ 6. Введем обозначения для углов: 
Поскольку ϕ и ψ меньше 90°, то их равенство равносильно равенству их тангенсов, поэтому
Запишем теоремы синусов для треугольников AC1P и HC1P:
Разделив одно равенство на другое, получим
По свойству биссектрисы 
Подставив и воспользовавшись теоремой синусов для треугольника ABH, получим
Аналогично доказывается, что
то есть 
что и требовалось.
Ответ: 270°.
Замечание для знатоков к способу 5. Точки S и R возникают, если сделать естественное преобразование для треугольника — композицию инверсии с центром в точке H радиуса 
и центральной симметрии в точке H. При этом преобразовании вершины треугольника переходят в основания высот, а точки P и Q — в точки S и R.
Комментарий к способу 6. Аналогично доказывается, что сумма углов, указанных на картинке, равна 270°.