РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1420 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает его стороны AC и BC в точках Q и N соответственно, причём $AQ:QC= 5 : 2,$ $CN : NB = 5 : 2.$ Найдите AB, если $QN = 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Решение. Пусть $C Q=2 x, C N=5 y;$ тогда $A Q=5 x,$ $C T=2 y.$ По теореме о двух секущих $C Q умножить на C A=C N умножить на C B,$ откуда

$2 x умножить на 7 x=5 y умножить на 7 y равносильно y=x корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента .$

Треугольники ABC и NQC подобны по двум сторонам и углу между ними $левая круглая скобка C A: C N=C B: C Q,$ $\angle C$   — общий), а коэффициент подобия равен

$дробь: числитель: B C, знаменатель: B Q конец дроби = дробь: числитель: 7 y, знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$

Значит,

$A B=Q N умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби =7 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ: $7 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Доказано подобие треугольников с общим углом — 2 балла.

Вычислен отрезок — 3 балла.

Ответ: $7 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

1420

$7 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Олимпиада: Олимпиада школьников Физтех

Класс: 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2016

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1420	$7 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$