Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности 
и 
равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы BAD и BCD соответственно, при этом первая касается стороны AD в точке K, а вторая касается стороны BC в точке T.
а) Найдите радиус окружности 
если AK = 2, CT = 8.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около
треугольника BOC. Найдите угол BDC.
а) Отрезки 
и 
являются биссектрисами углов BAD и BCD (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов BAD и BCD равна 
поэтому сумма их половин — углов 
и 
— равна 
Пусть 
Тогда
Выражая двумя способами 
получаем:
б) Так 
как радиусы окружности, описанной около треугольника BOC, поэтому высота этого треугольника 
также является его медианой. Точки 
и T лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим:
(как радиусы одной окружности). Возможны два случая: точки 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё.
В первом случае получаем:
Во втором случае:
Ответ: а) 
б) 
или 