Сюжет 1
Пусть I — центр вписанной окружности 
треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AIC пересекает в точках P и Q (так, что P и A лежат по одну сторону от прямой BI, а Q и C — по другую).
1.4 Пусть T — точка пересечения прямых AP и CQ, а K — точка пересечения прямых MP и NQ. Докажите, что T, K и I лежат на одной прямой.
Пусть S — точка пересечения прямых CT и AI, а L — прямых AT и CI. Заметим, что I — середина дуги PQ в окружности AIC, так как 
Тогда CI — биссектриса угла PCQ, AI — биссектриса угла PAQ, и мы видим в точностью картинку из пункта (2). Таким образом, прямая PQ параллельна LS. Комбинируя это с утверждением пункта (3) (MN и PQ параллельны) получаем, что треугольники MNI и TPQ перспективны относительно LS. Пользуясь обратной теоремой Дезарга получаем, что прямые IT, MP
то получаем, что I лежит на серпере к AC. Отсюда следует равнобедренность.