РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 2913 Добавить в вариант

Из точки A, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки A до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.

Спрятать решение

Решение.

Дано: точка A принадлежит окружности, AB  — касательная, AD  — секущая, отрезок OK перпендикулярен отрезку CD, $OK=5,$ $AB=16$ и $AD=32.$ Найти: R.

Так как радиус, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной, то отрезок OB перпендикулярен отрезку AB, следовательно, треугольник AOB  — прямоугольный. Пусть $KD=x,$ тогда $AK=32 минус x.$ Получаем:

1)  из треугольника AKO: $AO в квадрате =AK в квадрате плюс KO в квадрате = левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка плюс KO в квадрате ;$

2)  из треугольника ABO: $AO в квадрате =AB в квадрате плюс BD в квадрате =AB в квадрате плюс R в квадрате ;$

3)  из треугольника KOD: $OD в квадрате =KO в квадрате плюс KD в квадрате =KO в квадрате плюс x в квадрате =R в квадрате .$

Из первого и второго пункта следует, что

$левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс KO в квадрате =AB в квадрате плюс R в квадрате .$

Значит,

$левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс KO в квадрате =AB в квадрате плюс KO плюс x в квадрате равносильно левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка в квадрате =AB плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно 1024 минус 64x плюс x в квадрате =256 плюс x в квадрате равносильно 64 x=768 равносильно x=12.$ $левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс KO в квадрате =AB в квадрате плюс KO плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка в квадрате =AB плюс x в квадрате равносильно 1024 минус 64x плюс x в квадрате =256 плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно 64 x=768 равносильно x=12.$ $левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс KO в квадрате =AB в квадрате плюс KO плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 32 минус x правая круглая скобка в квадрате =AB плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно 1024 минус 64x плюс x в квадрате =256 плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно 64 x=768 равносильно x=12.$

Тогда $R в квадрате =KO плюс x в квадрате ,$ откуда $R в квадрате =25 плюс 144=169,$ то есть $R=13.$

Ответ: $R=13.$

Олимпиада Газпром, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Помощь