РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 3022 Добавить в вариант

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Через две вершины равностороннего треугольника ABC площадью $21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$  см² проведена окружность, для которой две стороны треугольника являются касательными. Найти радиус этой окружности.

Решение. Так как $S_\triangle A B C=21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и

$S_\triangle A B C= дробь: числитель: a в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби \Rightarrow дробь: числитель: a в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби =21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

то $a в квадрате =84$ или $a=2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента .$ Замечаем, что $\angle C A O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ следовательно, $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =R косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ а значит

$корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента =R дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента =R .$

Ответ: $R=2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.

Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.

Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.

Ответ: $R=2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

3022

$R=2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Олимпиада: Олимпиада Гранит науки

Класс: 9, 10, 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Год: 2017

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3022	$R=2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$