PDF-версии: 
Известно, что значения квадратного трёхчлена 
на интервале [−1, 1] не превосходят по модулю 1. Найти максимальное возможное значение суммы 
Решение. Подставляя в многочлен последовательно значения 
из интервала [−1, 1], получим три неравенства: 
и 
Складывая второе с третьим, получим также 
вычитая второе из третьего (они двойные и симметричные!), имеем 
Вычитая из 
неравенство 
получим 
В силу симметрии условия задачи относительно умножения на −1, можем считать коэффициент a положительным. Если 
то 
по доказанному. Если 
то 
по доказанному. Если 
то 
Если 
то 
Таким образом, сумма 
в условиях задачи не превосходит 3.
Значение 3 достигается, например, на многочлене 
его минимальное значение достигается внутри интервала в вершине параболы при 
максимальные значения достигаются на концах интервала при 
Ответ: 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Найдены только границы коэффициентов уравнения и их сумм из предложений 1-3. | 2-3 |
Доказана оценка  | 5 |
| Приведён и обоснован пример, когда эта граница достигается. | 2 |
| Пример приведён без обоснования. | 6 |
| Любая неверная граница, решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |