РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 3292 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Теорема косинусов, Методы геометрии. Теорема синусов

В треугольнике со сторонами AB  =  BC  =  5 и AC  =  6 на основании AC выбрана точка N так, что AN : NC  =  2 : 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN и CBN. При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.

Решение. а)  Из теоремы синусов для треугольников ABN и CBN следует, что радиусы указанных описанных окружностей равны. Обозначим центры этих окружностей соответственно через O₁ и O₂, а их радиусы через R.

б)  Четырехугольник $O_1 B O_2 N$   — ромб со стороной R и углом при вершине B, равным углу при вершине исходного равнобедренного треугольника $левая круглая скобка \angle B O_1 O_2$   — половина центрального угла и равен углу $\angle A,$ а $\angle B O_2 O_1$   — половина центрального угла и равен углу $\angle C правая круглая скобка .$ Треугольники ABC и $O_1 B O_2$ подобны.

в)  Отрезок BN находится из теоремы косинусов для треугольника ABN

$левая круглая скобка косинус \angle A= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка : B N= корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$

Из подобия треугольников или с использованием тригонометрических функций $левая круглая скобка \ctg} \angle A= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$ получаем ответ

$O_1 O_2=B N умножить на \ctg \angle A= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби \approx 3,09.$

Ответ: 3,09.

3292

3,09.

Олимпиада: Олимпиада школьников Ломоносов

Класс: 10, 11

Тур: 1 тур (отборочный) 1 этап

Год: 2016

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3292	3,09.