РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 3417 Добавить в вариант

Олимпиада Газпром, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Теорема синусов

В треугольнике ABC проведена средняя линия MN, соединяющая стороны AB и BC. Окружность радиуса $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ проведенная через точки M, N и C, касается стороны AB. Длина стороны AC равна 2. Найти синус угла $\angle ACB.$

Решение. Так как $\angle M N C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup M K C$   — по свойству вписанного угла, а $\angle A M C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup M K C$   — по свойству угла между хордой и касательной, то

$\angle A M C=\angle M N C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup M K C.$

Тогда $\angle C M N=\angle A C M,$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN. Поэтому треугольники AMC и CNM подобны. Отсюда

$M N= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2=1,$

следовательно,

$дробь: числитель: A C, знаменатель: M C конец дроби = дробь: числитель: M C, знаменатель: M N конец дроби \Rightarrow M C= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

По теореме синусов имеем:

$дробь: числитель: M C, знаменатель: синус \angle A C N конец дроби = дробь: числитель: M C, знаменатель: синус левая круглая скобка Пи минус \angle A C N правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: M C, знаменатель: синус \angle M N C конец дроби =2 R=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Отсюда:

$синус \angle A C N= дробь: числитель: M C, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: 0,5.

3417

0,5.

Олимпиада: Олимпиада Газпром

Класс: 11, 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2018

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3417	0,5.