РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 3463 Добавить в вариант

Олимпиада Газпром, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Подобие, Методы геометрии. Теорема синусов

В треугольнике PQL проведена средняя линия AB, соединяющая стороны PQ и QL. Длина стороны PL равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ синус угла $\angle PLQ$ равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Окружность, проведенная через точки A, B и L, касается стороны PQ. Найти радиус этой окружности.

Решение. Так как $\angle A B L= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup AKL$   — по свойству вписанного угла, а $\angle P A L= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup A K L$   — по свойству угла между хордой и касательной, то

$\angle P A L=\angle A B L= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup A K L.$

Тогда $\angle P L K=\angle L A B,$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и PL. Поэтому треугольники PAL и ABL подобны. Отсюда

$A B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби P L= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

$дробь: числитель: A L, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: P L, знаменатель: A L конец дроби \Rightarrow A L в квадрате =P L умножить на A B= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2=1 \Rightarrow A L=1.$

По теореме синусов имеем:

$дробь: числитель: A L, знаменатель: синус \angle A B L конец дроби = дробь: числитель: A L, знаменатель: синус левая круглая скобка Пи минус \angle P L Q правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: A L, знаменатель: синус \angle P L Q конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби =3=2 R.$

Тогда $R= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби =1,5.$

Ответ: 1,5.

3463

1,5.

Олимпиада: Олимпиада Газпром

Класс: 11, 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2018

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3463	1,5.