РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 3574 Добавить в вариант

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Разное. Да или нет?, Разное. Доказательство от противного

Можно ли на клетчатой бумаге расположить восьмиугольник так, чтобы все его вершины находились в узлах клетки, если известно, что этот многоугольник: а) равносторонний; б) равноугольный; в) правильный.

Решение. a)  Можно, $a=5.$

б)  Можно, $альфа =135 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

в)  Нельзя. Допустим, что такой восьмиугольник существует: $A_k левая круглая скобка a_k, b_k правая круглая скобка ,$ $k=\overline1,8,$ $a_k, b_k принадлежит Z .$ Площадь восьмиугольника

$S_8=8 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби R в квадрате синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента R в квадрате = дробь: числитель: d в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: d в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$

где d₂  — кратчайшее расстояние между двумя точками с целым координатами; следовательно, $дробь: числитель: d в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби$   — рациональное число.

Число $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$   — иррациональное, значит, S₈ тоже иррационально. $S_8=S_1 минус S_2,$ где S₁  — площадь прямоугольника  — целое число, S₂  — площадь восьми треугольников, площадь каждого из которых  — рациональное число, то есть S₂  — рациональное. Следовательно, число $S_8=S_1 минус S_2$ рациональное. Получили противоречие.

Ответ: а) можно; б) можно; в) нельзя.

3574

а) можно; б) можно; в) нельзя.

Олимпиада: Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2019

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3574	а) можно; б) можно; в) нельзя.