Можно ли на клетчатой бумаге расположить восьмиугольник так, чтобы все его вершины находились в узлах клетки, если известно, что этот многоугольник: а) равносторонний; б) равноугольный; в) правильный.
a) Можно, 
б) Можно, 
в) Нельзя. Допустим, что такой восьмиугольник существует: 
Площадь восьмиугольника
где d2 — кратчайшее расстояние между двумя точками с целым координатами; следовательно, 
—
Число 
—
где S1 — площадь прямоугольника — целое число, S2 — площадь восьми треугольников, площадь каждого из которых — рациональное число, то есть S2 — рациональное. Следовательно, число 
рациональное. Получили противоречие.
Ответ: а) можно; б) можно; в) нельзя.