РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3752 Добавить в вариант

На стороне АB и АС треугольника ABC, внешним образом построены прямоугольные треугольники АВТ и АСК, так что $\angleATB=\angleAKC=90 градусов,$ $\angleABT=\angleACK=30 градусов,$ на стороне BC выбрана точка M так, что BM  =  MC. Определите градусную меру угла KMT.

Спрятать решение

Решение.

1)  Треугольник TPM равен треугольнику KOM, по двум сторонам и углу между ними, так как

$AO= дробь: числитель: b, знаменатель: 2 конец дроби =KO=PM$

$AP= дробь: числитель: c, знаменатель: 2 конец дроби =TP=OM,$

отсюда

$\angle T P M=\angle T P A плюс \angle A P M=\angle A O K плюс \angle A O M=\angle K O M,$

значит, $TM=MK,$ и

$\angle P M T=\angle M K O= альфа ,$

$\angle P T M=\angle K M O= бета .$

2)  Найдём сумму углов PMT и KMO, тогда

$\angle P M T плюс \angle K M O=\angle M K O плюс \angle K M O=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle M O K.$

В свою очередь

$\angle M O K=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle K O C минус \angle M O C=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C=240 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C.$ $\angle M O K=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle K O C минус \angle M O C=$
$=360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C=240 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C.$

3)  Находим:

$\angle K M T=\angle P M O минус левая круглая скобка \angle P M T плюс \angle K M O правая круглая скобка =\angle B A C минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle M O K правая круглая скобка \Rightarrow$ $\angle K M T=\angle B A C минус 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 240 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 60.

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Помощь