РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4007 Добавить в вариант

В данный прямоугольник вписан ромб (на каждой стороне прямоугольника лежит по вершине ромба). Докажите, что отношение диагоналей ромба равно отношению сторон прямоугольника.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $n=2 k плюс 1,$ $k больше 1.$ Отметим вершины правильного $левая круглая скобка 2 k плюс 1 правая круглая скобка$ -угольника и пронумеруем их следующим образом: возьмем произвольную вершину A₁ и обозначим через A₂ k-ую по часовой стрелке от вершины A₁ вершину этого многоугольника. Аналогично, A₃  — это k-ая по часовой стрелке от вершины А и т. д. (см. рис). Так как числа k и $2 k плюс 1$ взаимно просты, то числа

$1,$ $1 плюс k,$ $1 плюс 2 k,$ $\ldots,$ $1 плюс i k,$ $\ldots,$ $1 плюс 2 k умножить на k$

дают различные остатки при делении на $2 k плюс 1.$ Таким образом, все вершины многоугольника будут пронумерованы. Несложно заметить, что все искомые треугольники  — равнобедренные и равные между собой, поэтому они являются остроугольными.

Ответ: верно.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Помощь