РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4154 Добавить в вариант

Дан треугольник, у которого все стороны меньше единицы. Докажите, что существует содержащий его равнобедренный треугольник, все стороны которого также меньше единицы.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим в треугольнике ABC тот из углов, который не превосходит 60° (такой угол существует, так как сумма всех трёх углов равна 180 градусам). Пусть, для определенности, это будет угол А и $A B меньше или равно A C.$ Отложим на луче AB точку B₁ такую, что $A B_1=A C.$ Тогда равнобедренный треугольник AB₁C будет искомым, поскольку он содержит треугольник ABC и сторона B₁C меньше единицы: это следует из того факта, что угол A при вершине треугольника AB₁C не превосходит углов при основании, а значит против угла A не может лежать большей стороны AC.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Каждая из четырёх задач данной олимпиады оценивается, исходя из максимума в 25 баллов. Таким образом, максимальный результат участника может быть 100 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Символы-баллы	Правильность (ошибочность) решения
+25	Полное верное решение
+20	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
±16	Решение в целом верное, но содержит мелкие ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.
+/2 13	Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основанная оценка.
±10	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
−5	Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует (участник не приступал).

Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 13 баллов. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком-стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ $\pm \uparrow$ будет соответствовать 17 баллам.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь