PDF-версии: 
На боковых ребрах AD, BD и CD тетраэдра ABCD взяты, соответственно, точки A1, B1, C1 такие, что плоскость A1B1C1 параллельна основанию АВС. Точка D1 лежит в основании. Докажите, что объем тетраэдра A1B1C1D1 не превосходит 
где V — объем тетраэдра ABCD.
Решение. Из условия параллельности плоскостей A1B1C1 и ABC следует, что тетраэдры A1B1C1D и ABCD подобны. Пусть x — коэффициент подобия этих тетраэдров 
и h — высота тетраэдра ABCD из точки D. Тогда h − xh — высота тетраэдра A1B1C1D1 из точки D1.
Поскольку площади оснований A1B1C1 и ABC тетраэдров A1B1C1D1 и ABCD относятся как x2, а высоты — как 
получаем задачу на максимум для функции 
Решая эту задачу с помощью производной 
находим критическую точку 
в которой достигается наибольшее значение 
(в другой критической точке 
так же, как и при 
очевидно, достигается наименьшее значение 0). Что требовалось доказать.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.