PDF-версии: 
Существует ли такое действительное α, что оба числа 
и 
рациональны?
Решение. Предположим, от противного, что для некоторого α выполняется: 
и 
где a, b — рациональные числа. Тогда
Возводя в квадрат и складывая эти соотношения, получим
Если 
от отсюда уже получается противоречие, так как в левой части рациональное число, а в правой — иррациональное. Значит, 
и на самом деле мы имеем два уравнения и 
Вычитая эти уравнения, получим 
Но функция 
принимает наибольшее значение 
при 
(в этом можно убедиться, исследуя функцию с помощью производной или преобразовав данное выражение через вспомогательный угол). Таким образом, получаем противоречие (левая часть оказалась меньше правой).
Ответ: не существует.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.