Существует ли такое действительное α, что оба числа 
и 
рациональны?
Предположим, от противного, что для некоторого α выполняется: 
и 
где a, b — рациональные числа. Тогда
Возводя в квадрат и складывая эти соотношения, получим
Если 
от отсюда уже получается противоречие, так как в левой части рациональное число, а в правой — иррациональное. Значит, 
и на самом деле мы имеем два уравнения и 
Вычитая эти уравнения, получим 
Но функция 
принимает наибольшее значение 
при 
(в этом можно убедиться, исследуя функцию с помощью производной или преобразовав данное выражение через вспомогательный угол). Таким образом, получаем противоречие (левая часть оказалась меньше правой).
Ответ: не существует.