РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4681 Добавить в вариант

При каком наименьшем натуральном k выражение $2017 умножить на 2018 умножить на 2019 умножить на 2020 плюс k$ является квадратом натурального числа?

Спрятать решение

Решение.

Докажем, что уже $k=1$ подходит. Пусть $n=2018,$ тогда при $k=1$ выражение из условия равняется

$левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка плюс 1 = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$ $левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка плюс 1 = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка плюс 1= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$ $левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка плюс 1 = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$ $левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка плюс 1 =$
$= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=$
$= левая круглая скобка n в квадрате плюс n минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$

Ответ: 1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4681: 4682 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь