РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 4690 Добавить в вариант

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Обозначим $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =7x в квадрате плюс 6x минус 2.$ Решите уравнение $f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =x.$

Решение. Первое решение. Число x удовлетворяет уравнению $f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =x$ тогда и только тогда, когда найдётся такое число y, что выполнена система

$система выражений 7 x в квадрате плюс 6 x минус 2=y, 7 y в квадрате плюс 6 y минус 2=x. конец системы .$

Вычитая из первого равенства второе, после преобразований получаем $7 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс 1 правая круглая скобка =0,$ откуда или $y=x,$ или $y= минус x минус 1.$ Подставим y в первое уравнение системы. В первом случае получим уравнении $7 x в квадрате плюс 5 x минус 2=0,$ откуда $x= минус 1$ или $x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби .$ Во втором случае получим уравнение $7 x в квадрате плюс 7 x минус 1=0,$ откуда

$x= дробь: числитель: минус 7 \pm корень из: начало аргумента: 77 конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на 7 конец дроби = дробь: числитель: минус 7 \pm корень из: начало аргумента: 77 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 1; дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: минус 7 \pm корень из: начало аргумента: 77 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби правая фигурная скобка .$

План второго решения.

Честно посчитаем $f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка минус x :$

$левая круглая скобка 7 левая круглая скобка 7 x в квадрате плюс 6 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 6 левая круглая скобка 7 x в квадрате плюс 6 x минус 2 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус x=$
$=343 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 588 x в кубе плюс 98 x в квадрате минус 133 x плюс 14=7 левая круглая скобка 49 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 84 x в кубе плюс 14 x в квадрате минус 19 x плюс 2 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 7 левая круглая скобка 7 x в квадрате плюс 6 x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 6 левая круглая скобка 7 x в квадрате плюс 6 x минус 2 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус x=$
$=343 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 588 x в кубе плюс 98 x в квадрате минус 133 x плюс 14=$
$=7 левая круглая скобка 49 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 84 x в кубе плюс 14 x в квадрате минус 19 x плюс 2 правая круглая скобка ,$

то есть исходное уравнение равносильно

$49 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 84 x в кубе плюс 14 x в квадрате минус 19 x плюс 2=0 .$

Теперь у него можно найти два рациональных корня, пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами: если $дробь: числитель: p, знаменатель: q конец дроби ,$ $левая круглая скобка p, q правая круглая скобка =1$   — корень многочлена с целыми коэффициентами, то p является делителем свободного члена, а q  — старшего коэффициента. Получаем:

$49 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 84 x в кубе плюс 14 x в квадрате минус 19 x плюс 2= левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 x в квадрате плюс 7 x минус 1 правая круглая скобка ,$

корни же третьей скобки можно найти, используя формулу через дискриминант.

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

4690

$левая фигурная скобка минус 1; дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: минус 7 \pm корень из: начало аргумента: 77 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби правая фигурная скобка .$

Олимпиада: Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Год: 2019

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	4690	$левая фигурная скобка минус 1; дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: минус 7 \pm корень из: начало аргумента: 77 конец аргумента , знаменатель: 14 конец дроби правая фигурная скобка .$