РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 4712 Добавить в вариант

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий

Дан треугольник ABC. На отрезках AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX = BY. Оказалось, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности. Пусть BL  — биссектриса треугольника ABC (L на отрезке AC). Докажите, что прямые XL и BC параллельны.

Решение. Из того, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности, следует, что $B X умножить на B A=B Y умножить на B C,$ или $A B: B C=B Y: B X.$ Из того, что прямые XL и BC параллельны, следует, что $A L: L C=A X: X B.$ Тогда

$A L: L C=A X: X=B Y: B X=A B: B C,$

откуда по теореме о биссектрисе треугольника, получаем, что BL  — биссектриса треугольника ABC, что и требовалось.

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Олимпиада: Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников

Класс: 11

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2019

Ключ