РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 5372 Добавить в вариант

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...)

Известно, что число $корень из 2$ является корнем многочлена $x в кубе минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в квадрате плюс bx минус 2a,$ где a и b  — целые числа. Найдите a, b и остальные корни этого многочлена.

Решение. Так как $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$   — корень, то

$левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в кубе минус 2 левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка плюс b корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 2a=0,$

откуда $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка =4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка .$ Если, $b не равно минус 2,$ то $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: b плюс 2 конец дроби ,$ что противоречит иррациональности $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ поскольку a и b  — целые числа. Следовательно, $b= минус 2,$ $a= минус 1$ и многочлен равен

$x в кубе минус x в квадрате минус 2x плюс 2= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 правая круглая скобка .$

Ответ: $a= минус 1;$ $b= минус 2;$ $x=1; \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

5372

$a= минус 1;$ $b= минус 2;$ $x=1; \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	5372	$a= минус 1;$ $b= минус 2;$ $x=1; \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$