РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 5388 Добавить в вариант

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Неравенства, оценки, минимаксные задачи, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Найдите множество точек, являющихся вершинами прямого угла треугольника, две другие вершины которого лежат на сторонах другого прямого угла.

Решение. Изящное геометрическое рассуждение показывает, что вершина C (рис. б) прямого угла данного треугольника лежит на луче OK: окружность, построенная на гипотенузе данного треугольника как на диаметре (связь с предыдущей задачей), происходит через вершину O данного прямого угла, следовательно, $\angle COB=\angle CAB=const.$ Труднее доказать, что вершина при этом не выйдет за пределы отрезка NK. Интересно сравнить это рассуждение с прямым вычислением координат точки C. Именно:

$x=c умножить на косинус альфа умножить на синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка$ (рис. в),

$y=c умножить на косинус бета минус c умножить на косинус альфа умножить на косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка =c умножить на косинус левая круглая скобка левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка минус c умножить на косинус альфа умножить на косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка =c умножить на синус альфа умножить на синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка ,$ $y=c умножить на косинус бета минус c умножить на косинус альфа умножить на косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка =$
$=c умножить на косинус левая круглая скобка левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка минус c умножить на косинус альфа умножить на косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка =c умножить на синус альфа умножить на синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка ,$ $y=c умножить на косинус бета минус c умножить на косинус альфа умножить на косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка =$
$=c умножить на косинус левая круглая скобка левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка минус c умножить на косинус альфа умножить на косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка =$
$=c умножить на синус альфа умножить на синус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка ,$

значит, $дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби = тангенс альфа =const.$ Далее, $x в квадрате плюс y в квадрате =c в квадрате синус в квадрате левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка .$ Покажите, что это лежит между $синус в квадрате альфа$ и $косинус в квадрате альфа ,$ если $бета принадлежит левая квадратная скобка 0, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

а)

б)

в)

Ответ: см. рисунок.

5388

см. рисунок.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	5388	см. рисунок.