РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5428 Добавить в вариант

Найдите все возможные наборы из семи действительных чисел, сумма любых четырех из которых равна произведению трех оставшихся.

Спрятать решение

Решение.

Предположим, что в наборе имеются два различных числа, пусть $a не равно b.$ Из равенства $a плюс c плюс d плюс e=b умножить на f умножить на g$ и $b плюс c плюс d плюс e=a умножить на f умножить на g$ следует, что $левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка f умножить на g плюс 1 правая круглая скобка =0,$ значит, $f умножить на g = минус 1,$ в частности числа f и g имеют противоположные знаки, что невозможно. Следовательно, все числа в наборах равны, то есть $4a=a в кубе$ откуда и следует ответ.

Ответ: наборы $левая фигурная скобка 0,0,\ldots,0 правая фигурная скобка ;$ $левая фигурная скобка \pm 2, \pm 2,\ldots, \pm 2 правая фигурная скобка .$

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Помощь