До­ка­жем, что если подъ­ез­дов n, то спо­со­бов за­се­ле­ния 2ⁿ: будем рас­суж­дать ин­дук­ци­ей по n. База оче­вид­на.

Пусть утвер­жде­ние до­ка­за­но для дома из подъ­ез­да; до­ка­жем его для дома из n подъ­ез­дов. Рас­смот­рим квар­ти­ру на пер­вом этаже по­след­не­го подъ­ез­да. Она либо за­се­ле­на, либо нет.

В пер­вом слу­чае мы можем вы­ки­нуть по­след­ний подъ­езд; ясно, что о став­ши­е­ся подъ­езд могут быть за­се­ле­ны про­из­воль­но со­глас­но пра­ви­лам за­да­чи, то есть спо­со­ба­ми. Во вто­ром слу­чае мы можем вы­ки­нуть пер­вый этаж изо всех подъ­ез­дов; ясно, что остав­ши­е­ся этажи могут быть за­се­ле­ны, опять-таки, спо­со­ба­ми.

Эти два слу­чая, оче­вид­но, не пе­ре­се­ка­ют­ся и ис­чер­пы­ва­ют воз­мож­но­сти. Сум­ми­руя их, по­лу­ча­ем 2ⁿ.

Ответ: 2048.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим гра­ни­цу между заселёнными и не­за­селёнными квар­ти­ра­ми, ко­то­рая на­чи­на­ет­ся из пра­во­го ниж­не­го угла дома, про­хо­дит под всеми заселёнными квар­ти­ра­ми и спра­ва от всех не­за­селённых (счи­та­ем, что подъ­ез­ды были про­ну­ме­ро­ва­ны слева на­пра­во) и за­кан­чи­ва­ет­ся на диа­го­наль­ной гра­ни­це дома. Ясно, что любой спо­соб про­ве­сти эту линию даст един­ствен­ный спо­соб за­пол­нить квар­ти­ры, и на­о­бо­рот.

Длина этой линии (из­ме­рен­ная в рёбрах сетки) равна ко­ли­че­ству подъ­ез­дов; при этом каж­дое её ребро может идти либо влево, либо вверх. Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство спо­со­бов её про­ве­сти равно со­от­вет­ству­ю­щей сте­пе­ни двой­ки.