РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 6223 Добавить в вариант

Олимпиада Росатом, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Методы геометрии. Вспомогательная окружность

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. Из точки N катета BC, опущен на гипотенузу перпендикуляр NM, при этом прямая NA перпендикулярна CM и $MH:CH=1: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Найти острые углы треугольника ABC.

Решение. Так как $\angle A C B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle N M A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ то около четырехугольника ACNM можно описать окружность. Рассмотрим треугольник MCH. Он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора имеем:

$M C в квадрате =M H в квадрате плюс C H в квадрате =M H в квадрате плюс 3 M H в квадрате =4 M H в квадрате .$

Отсюда находим $M H: M C=1: 2,$ из чего следует, что $\angle M C H=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Так как хорда MN параллельна прямой CH, то

$\angle NMC= \angle MCH=30 градусов .$

Угла NMC и NAC вписанные и опираются на одну дугу, поэтому $\angle NAC=30 градусов.$ Вычислим угол CMH:

$\triangle C M H=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle N M C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Из условия перпендикулярности MC и AN следует, что $\angle N A M=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Тогда

$\angle B A C=\angle M A N плюс \angle N A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

a $\angle A B C=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: $\angle B A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A B C=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

6223

$\angle B A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A B C=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Олимпиада: Олимпиада Росатом

Класс: 9

Тур: 1 тур (отборочный)

Год: 2017

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	6223	$\angle B A C=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A B C=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$