РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 6299 Добавить в вариант

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Комбинации плоских фигур, Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный, Методы геометрии. Метод площадей, метод объемов

Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, в котором AB  =  3, AD  =  4, AC  =  6, а площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABC равна площади треугольника ADC и в два раза больше площади треугольника ABD.

Решение. Так как площади треугольников ABC и ADC равны, то точки B и D равноудалены от прямой AC, то есть точка пересечения диагоналей четырехугольника O делит BD пополам. Из условия $S_A B C=2 S_A B D$ следует $s плюс S_B O C=2 умножить на 2 s$ (где s  — площадь каждого из равновеликих треугольников ABO и AOD). Отсюда $S_B O C=3 s,$ то есть $O C: A O=3: 1.$ Если теперь обозначить точку пересечения медиан треугольника BCD через Q, то получается $O Q= дробь: числитель: Q C, знаменатель: 2 конец дроби$ и $O Q=A O,$ то есть ABQD параллелограмм. Тогда