A tangential trapezoid KLMN is given; its lateral side KL is divided into segments 25 and 9 by a touchpoint with the incircle of this trapezoid. Find the smallest possible value of LM if perimeter of this trapezoid is equal to 224.
Трапеция KLMN описана около окружности, при этом боковая сторона KL разделена точкой касания на отрезки, равные 25 и 9. Найдите минимально возможную длину LM, если периметр трапеции равен 224.
Решение. Let us denote points where the circle touches the sides KL, LM, MN, NK as H, A, B, C respectively. Let O be the center of the circle. Triangle OLK is right,
LO and 
are angle bisectors; hence
and OH is its altitude. Therefore,
In the same way we get that
Let MB be equal to x. Then 
As the trapezoid is tangential, sum of its bases is equal to sum of its legs. So its perimeter is
Equating it to 224 and simplifying, we get 
from here 
or 
Now we see that the smallest possible value of LM is 
Обозначим точки, в которых окружность касается сторон KL, LM, MN, NK через H, A, B, C соответственно. Пусть O — центр окружности. Треугольник OLK — прямоугольный,
где LO и KO — биссектрисы углов трапеции; поэтому
а OH его высота. Следовательно,
Таким же образом мы получаем, что
Пусть MB равно x. тогда Поскольку трапеция описанная, сумма её оснований равна сумме её боковых сторон. Отсюда её периметр есть
Приравнивая его к 224 и упрощая, мы получаем отсюда или Теперь мы видим, что наименьшее возможное значение LM — это
Ответ: 12.
Ответ: 12.
PDF-версии: 