Let us denote points where the circle touches the sides KL, LM, MN, NK as H, A, B, C respectively. Let O be the center of the circle. Triangle OLK is right,

LO and are angle bisectors; hence

and OH is its altitude. Therefore,

In the same way we get that

Let MB be equal to x. Then As the trapezoid is tangential, sum of its bases is equal to sum of its legs. So its perimeter is

Equating it to 224 and simplifying, we get from here or Now we see that the smallest possible value of LM is

Обо­зна­чим точки, в ко­то­рых окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон KL, LM, MN, NK через H, A, B, C со­от­вет­ствен­но. Пусть O  — центр окруж­но­сти. Тре­уголь­ник OLK  — пря­мо­уголь­ный,

где LO и KO  — бис­сек­три­сы углов тра­пе­ции; по­это­му

а OH его вы­со­та. Сле­до­ва­тель­но,

Таким же об­ра­зом мы по­лу­ча­ем, что

Пусть MB равно x. тогда По­сколь­ку тра­пе­ция опи­сан­ная, сумма её ос­но­ва­ний равна сумме её бо­ко­вых сто­рон. От­сю­да её пе­ри­метр есть

При­рав­ни­вая его к 224 и упро­щая, мы по­лу­ча­ем от­сю­да или Те­перь мы видим, что наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние LM  — это

Ответ: 12.