Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность с диаметром BD пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Точки M и N — середины отрезков AD и CD соответственно. Известно, что PM и TN — параллельны.
а) Найдите угол ABC.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ABC.
а) Точки P и T лежат на окружности с диаметром BD, поэтому 
Следовательно, треугольники ADP 
— их медианы. Так как медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, 
и 
Пусть 
Поскольку треугольник CTN равнобедренный, и 
(как внешний угол 
Углы PMA и TND равны в силу параллельности прямых PM и TN. А так как треугольник AMP также равнобедренный, то
Значит, сумма углов A и C треугольника ABC равна 
и его третий угол 
также равен 
б) В силу сказанного выше 
и 
Обозначим 
Тогда 
По теореме косинусов для треугольников ABD и ACD получаем, что
Но по теореме Пифагора 
откуда следует, что
Далее находим:
Ответ: 
